相位噪声的推导可以通过频率稳定性的角度来进行。假设一个振荡器输出的信号为cos(ωt+Φ(t))，其中ω是角频率，Φ(t)是随时间变化的相位。我们可以将振荡器的输出表示为：

\[x(t) = A \cdot cos(ωt+Φ(t))\]

其中A是振幅。现在，我们可以利用傅里叶变换和自相关函数来推导相位噪声。

我们对信号进行傅里叶变换，得到频率域的表示：

\[X(f) = \frac{A}{2} [δ(f-ω) + δ(f+ω)]\]

其中δ(f)是狄拉克函数。接下来，我们可以计算信号的自相关函数。信号的自相关函数定义为：

\[R_{xx}(τ) = E[x(t)x(t+τ)]\]

其中E[·]表示期望值。将信号代入上式，并利用欧拉公式展开cos函数，可以得到自相关函数的表达式。

在频率稳定的假设下，相位随时间的变化归结为频率随时间的变化。因此，可以使用自相关函数的一阶导数来描述相位噪声。对自相关函数进行求导后，可以得到相位噪声功率谱密度（PSD），即单位频率间隔内的相位噪声功率。相位噪声功率谱密度通常用S_φ(f)表示，它描述了相位随频率变化的情况。

终，通过对相位噪声功率谱密度进行积分，我们可以得到总的相位噪声。相位噪声对于不同的应用有不同的影响，因此在设计和分析系统时，需要对相位噪声进行的推导和评估。